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I.- DESARROLLO INTELECTUAL DEL NIÑO
Antes de abordar de lleno el tema de la enseñanza de las matemáticas en el nivel primaria, resulta conveniente hacer una pausa para analizar o recordar, las fases del desarrollo del niño, desde sus características físicas, hasta el desarrollo intelectual, ya que ambos factores, son un tema que no debe ser dejado de lado, pues ejercen influencia directa en el aprendizaje desarrollo y concepción que el niño hace o tiene de las matemáticas.
1.- Desarrollo físico.
La investigación aquí presente, alude a niños de educación primaria (cuyas edades van de los seis a los 12 años en promedio), durante esta época del desarrollo, el niño se encuentra frente a un cambio, ya que alrededor de los 10 años, algunos niños antes, se enfrentan ante el cambio más trascendental de su desarrollo, la preadolescencia, en donde el niño queda atrás, y se enfrentan al adolescente, y aunque no es justamente en la primaria donde se da el cambio más trascendental al respecto, cabe mencionar que si surge la preadolescencia, lo que resulta ser un factor considerable a tener en cuenta, ya que los intereses, necesidades y actitudes de los niños cambias radicalmente, agregando además una predisposición al rechazo de todo lo que provenga de una figura que les represente autoridad, como en este caso sería el maestro.
En esta etapa, los niños empiezan a sufrir una serie de cambios físicos, principalmente entre los 10 y 12 años, pues entre otros, sus sistemas reproductores empiezan a funcionar, provocando una serie de cambios emocionales, aparecen la menstruación en la niñas y el desarrollo de glándulas mamarias, a los niños les cambia la voz y ambos empiezan a tener presencia de vello, su talla crece considerablemente, y quizá lo más significativo para este trabajo, es el hecho de que sus intereses se modifican o alteran.
También, alcanzan su mayor desarrollo psicomotriz, adquiriendo habilidades motoras finas, que les permiten practicar diferentes deportes y realizar distintas actividades como dibujar, recortar y aprender a escribir.
2. Desarrollo intelectual
Durante esta etapa el desarrollo del lenguaje le permite al niño hacer preguntas directas en relación con lo que le está pasando y también puede expresar sus miedos y fantasías, así como sus sentimientos. La expresión de todo esto lo hace mediante el lenguaje y también a través de distintas actividades como pudieran ser el juego, los cuentos, los dibujos, los sueños.
El progreso en su aprendizaje es notorio así como también el manejo del lenguaje, la comprensión de ideas y el reconocimiento de la realidad, alcanzando una “madurez infantil”.
Según Piaget, el niño fortalece su capacidad de pensamiento y busca explicaciones lógicas, puede memorizar gran cantidad de datos y siente profunda curiosidad por saber acerca de sitios personas y hechos desconocidos, puede mantener concentrada su atención, cada vez por más tiempo.
Esta es la época escolar, lo cual favorece de manera importa te el desarrollo intelectual del niño y estimula su afán por aprender, lo cual resulta ser positivo a el objeto de esta investigación, la escritura, lectura y pensamiento matemático, son los grandes logros académicos de esta etapa. (Hellinger ,Guía de los padres)
Según Vigotsky el niño atraviesa por tres etapas principales, entes de lograr el desarrollo completo del pensamiento, estas son, según se menciona en la página de Educación inicial, las siguientes:
Etapa 1. El pensamiento en grupos desorganizados. Durante este período agrupa elementos y puede asignarles etiquetas, con base en que hay uniones por casualidades en la percepción del niño." Reagrupamiento por ensayo y error." Organización del campo visual." Grupos rearreglados.
Etapa 2. Pensamiento en categorías. Los objetos individuales se unen en la mente del niño, no sólo por sus impresiones subjetivas, sino en la mente del niño, no sólo por sus impresiones subjetivas, sino existen entre los objetos. Este es un paso que lo aleja del pensamiento egocéntrico y lo dirige a la objetividad. En una categoría, las uniones entre los componentes son hasta cierto grado concretos y factuales, en lugar de abstractos y lógicos.
Etapa 3. Pensamiento en conceptos. En el umbral de esta etapa final haremos una pausa para inspeccionar en dos caminos, el desarrollo del pensamiento: síntesis y análisis, que ahora convergen para hacer posible el pensamiento conceptual.
De todo lo anterior, y retomando el concepto dado por Vigotsky, respecto a la operación intelectual de formar conceptosd, señalaremos que "es guiada por el uso de palabras como medio activo para centrar la atención, para abstraer ciertas cosas, sintetizándolas y simbolizándolas mediante un signo".
Así pues, a través de los siglos se ha pensado que el lenguaje que emite una persona, tanto oral como escrito, sirve como una ventana por la cual se ven las operaciones de su mente.
3 Aspecto emocional
El desarrollo del lenguaje le permite al niño expresar cada mes mejor sus emociones y sentimientos, favorecido por el acercamiento y la apertura a otras personas. El egocentrismo –característico de la edad temprana- va desapareciendo al mantener mayor contacto con los otros de su grupo, se hace presente la aceptación del otro la cual se enfrenta con la omnipotencia de la primera época, el niño sin remedio tiene que aceptar que sus semejantes tienen otros deseos y necesidades que no necesariamente coinciden con los suyos.
Según el terapeuta Bert Hellinger, es indispensable en este periodo del desarrollo infantil llevar a efecto tres leyes indispensables en todo sistema familiar:
1.- La pertenencia: todos los miembros de la familia deben de ser tenidos en cuenta.
2.-El orden: en toda familia debe existir una jerarquía que debe ser respetada.
3.- El equilibrio: todos en la familia deben dar y recibir en igual proporción. (Hellinger ,Guía de los padres)
II.-ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
1.- Concepciones de las matemáticas.
Si tuviéramos que dar un adjetivo a las matemáticas, de forma general las llamaríamos difíciles, y es evidente que la mayoría de la gente las evitaría, pues les representan dificultad, aburrimiento y demasiado esfuerzo mental, además si nos referimos a las matemáticas que se dan dentro de la escuela, los adjetivos se repiten e incluso se incrementan de forma negativa.
Para nadie es desconocido el hecho de que durante muchos años, la mayoría de los mortales, hemos tratado de evitar lo más posible las matemáticas, y las hemos reducido en su mayoría a sumar, restar, multiplicar y dividir ( ver las gráficas que muestran esta información), en la presente investigación, se encuesto aproximadamente a 20 alumnos, y más del 80% coinciden en señalar que las matemáticas sólo son dividir, restar o multiplicar, y no hay una utilidad más allá de hacer cuentas.
Y la verdad es que en este momento, no sé que tan alejada este esta opinión de la realidad, pues si hacemos un análisis detenido, veremos que cualquier, cuestión que se relacione con temas matemáticos, implica necesariamente, alguna o todas las operaciones antes mencionadas. Entonces ¿cuál es el problema de estas aseveraciones? Quizá el problema principal radica en el hecho de que, no se trata de saber las operaciones, sino de que éstas tomen significado, es decir, se trata de hacer unas matemáticas funcionales, en donde lo que enseñen en primero de primaria, siga teniendo vigencia y significado en segundo, tercero y así sucesivamente.
Aunque es común decir que las matemáticas son ”el coco” de la mayoría de los estudiantes, últimamente se han divulgado resultados parciales de distintos estudios sobre el problema de la enseñanza de las matemáticas en escuelas de educación básica alrededor del mundo. Con cifras, porcentajes y cuadros comparativos diagnostican: que es una de las materias que cuenta con el menor nivel de comprensión y popularidad.
¿Son las matemáticas, por sí mismas, incomprensibles para el común de los mortales? ¿Algunas personas estarían mejor dotadas que otras para comprenderlas, como sugiere la teoría de las inteligencias múltiples? ¿Se puede hacer algo desde los métodos de enseñanza para hacerlas accesibles a los niños? ( Guedj, Denis: El teorema del loro. Novela para aprender matemáticas. 2000)
En todo el sistema de enseñanza las matemáticas han ocupado siempre un papel privilegiado y despiertan sentimientos encontrados: mientras que la gran mayoría mantiene hacia ellas una mezcla de respeto y aversión, formada durante los años escolares y producto de no haber sido capaces de dominarlas sino de sentirse dominados por ellas, para otros, pocos, son lo más bello del mundo y las aman con pasión. Las razones de esto hay que buscarlas en la peculiar naturaleza de las matemáticas como ciencia y en que cuando su enseñanza se empieza mal no se consigue avanzar, y este será u n problema que estaremos viviendo por muchos años más, si es que no empezamos a hacer algo al respecto.
Las matemáticas han sido consideradas como una disciplina de un gran valor formativo además de algo necesario, como contenido, para cualquier tipo de estudio que se realice. Junto con el latín era la disciplina que proporcionaba una mayor formación y de hecho siempre se ha asociado en dificultad, y en rechazo, por parte de los escolares la enseñanza de las matemáticas y de las lenguas, y en el caso de las matemáticas, sería bueno el hecho de que nos detuviéramos a pensar por un momento en el hecho del porqué de éste rechazo, y quizá encontraríamos algo, que la mayoría de los que trabajamos en aula, ya sabemos “ para los niños, lo que aprenden de matemáticas en la escuela no le sirve de nada en su vida cotidiana, y lo más triste es que reducen las matemáticas a simples operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir, eso es lo que las matemáticas representan para nuestros alumnos” comentario referido por una de las docentes que tuvo a bien contestar la encuesta de esta sencilla investigación.
2.- La enseñanza de las matemáticas
Por todos es bien sabido el hecho de que el gran problema de las carencias matemáticas que en la actualidad está sufriendo nuestro sistema educativo, está ligado de manera muy sólida e innegable, a la didáctica empleada por los maestros a la hora de impartir sus clases, y esta afirmación de ninguna manera pretende manejar o señalar como únicos culpables de nuestros rezagos matemáticos, a los maestros, recordemos que al referirnos a carencias en la educación, hablamos de todo el conjunto de personas, instituciones y legados que lo forman, lo que se pretende señalar, es simplemente el hecho de que la didáctica hasta ahora empleada , no ha resultado ser la más funcional o benéfica a nuestros fines.Dicho de otra manera, el cambio verdadero y radical en la manera de enseñar matemáticas, sin lugar a dudas marcaría un cambio radical en los resultados de calidad que se desean.Delval, Juan, en su libro Crecer y pensar, 1991, menciona lo siguiente a este respecto.Las matemáticas no pueden enseñarse en los primeros niveles como una teoría formal, abstracta, porque el niño no es capaz de entenderla y tampoco ve la necesidad de una teoría de este tipo. Lo primero que hay que hacer es crear en el niño la necesidad de las matemáticas, pues uno de los grandes problemas de la enseñanza de las matemáticas, no de ahora sino de siempre, es que el sujeto las considera como algo gratuito, no ve ni la necesidad de introducir esas nociones ni, en niveles más avanzados, la necesidad de los pasos que se utilizan en una demostración.Para alcanzar ese objetivo general hay que modificar profundamente la práctica actual. Hoy tenemos que reconocer que la matemática moderna como alternativa al fracaso en el aprendizaje matemático ha fracasado a su vez. Es necesario hacer un balance de lo conseguido y buscar otros caminos. Para ello debemos tomar en consideración el desarrollo psicológico de los niños.Esta investigación tiene como única finalidad mostrar otras alternativas, o explicaciones al problema tan radical que atraviesa la enseñanza de las matemáticas, y cómo sería posible darle un giro a dichos problemas, y revertir sus efectos de forma positiva al avance de nuestra formación educativa.Cada una de las maestras que fueron encuestadas, refirieron que la enseñanza de las matemáticas se torna cada vez más difícil, y hacen un comentario que me parece interesante, alguna refirió el hecho de que los niños cada vez aprenden más tempranamente a sumar o restar, pero tardan más tiempo en comprender o entender un problema o su solución, inmediatamente se viene a la cabeza el hecho de que quizá esa podría ser una de las explicaciones a tan grave problema, y entonces me cuestiono¿ en verdad respetamos los niveles de desarrollo de los niños?, o será que simplemente nos hemos concentrado en atiborrar al niño de conceptos y términos, y hemos dejado de lado el desarrollo y fomento de las habilidades y destrezas, veamos entones qué hacemos cada uno de nosotros dentro de nuestras áreas de trabajo.
La enseñanza de las matemáticas en los primeros niveles debería seguir dos caminos paralelos. Por un lado, actividades prácticas, intuitivas, relativas sobre todo a números, al espacio y a la medida, que deben unirse en la enseñanza de la física y a las actividades de tecnología, actividades que son esenciales pues construyendo aparatos y estudiando problemas físicos el niño, no sólo se siente enormemente motivado, sino que se ve obligado a utilizar nociones matemáticas y les encuentra un sentido.Es, pues, una tarea muy urgente iniciar una reforma de la enseñanza de las matemáticas para evitar los errores en los que estamos cayendo todos los días. Y uno de los aspectos de esa reforma será sin duda la eliminación en las primeras etapas de la enseñanza básica de la matemática abstracta." (Tomado del libro:DELVAL, Juan. Crecer y pensar)En nuestro sistema educativo, y en cierta forma, dentro del cada vez más grande sistema privado de la educación, se han hecho los erróneos parámetros de que entre más cosas se enseñen en una escuela es mejor, pero esto no es exclusivo de las escuelas particulares, de alguna manera también se da dentro de nuestro sistema oficial, y si no veamos lo saturado del plan de matemáticas para el nivel primaria, y lo corto del tiempo para cubrir con dichas expectativas.Las maestras encuestadas en esta investigación, así como los alumnos refieren que el tiempo es corto, mientras que los temas son inmensos, pero quizá el verdadero problema, radica en los ejercicios que plantean, y es que tienden a recurrir, a ejercicios esquematizados con la finalidad de ahorrar la mayor cantidad de tiempo, pero el problema no es lo que enseñan, sino lo que los alumnos verdaderamente aprenden, y cómo lo aprenden, y no es una tarea en verdad tan compleja, sólo falta disposición para cambiar las prácticas ya dominadas, y tratar de abrirnos a nuevas formas y pensamientos, dejemos de lado la curricula o el tiempo, pues de todas formas no logramos cumplirla, y peor aún, lo que se les enseña a los alumnos pasa desapercibido.
Vayamos paso a paso, y dejemos que en verdad la enseñanza de las matemáticas sea mejorada y renovada, y no es una tarea tan titánica conmo nos pareciera, podemos empezar por lo más sencillo, cautivar a nuestros alumnos para que lejos de rechazar la materia, la acepten y para lograrlo, es necesario cambiar el esquema que ya se han hecho respecto a la materia, demos paso a la creatividad, al juego y al uso constante de material concreto, que lejos de ser pérdida de tiempo, en realidad, nos dará tiempo a favor, pues un tema bien aprendido, evita las constantes “retroalimentaciones, guías o ejercicios de repaso”, si logramos que el alumno aprenda de manera significativa el contenido, que tenga una actividad grata que se lo marque, entonces iremos un paso delante de lo que hasta ahora hemos logrado, no se trata de diseñar las grandes estrategias o de hacer mucho escándalo, se trata de ir paso a paso, péquenos, pero verdaderos, que se queden bien grabados en la conciencia matemática de los alumnos.Lo único que hay que procurar, según Guedj, Denis: El teorema del loro. Es :· Plantearles ejercicios a la medida de sus circunstancias.· Estimular que utilicen estrategias propias para resolverlos.· Valorar sus procedimientos de cálculo más que su exactitud.· Permitirles reconocer por sí mismos los errores.· Ayudarlos a confiar en su potencial ante los problemas.· Descubrir el diálogo como vía de solución conjunta.
Enfrentarlos a dilemas matemáticos aun antes de que sepan las fórmulas u operaciones preestablecidas para el caso y recordar que las matemáticas, más que meras operaciones aritméticas, constituyen una forma de pensamiento abstracto que aplicamos a diario en nuestras vidas aunque no nos demos cuenta.Otro autor agrega:Las siguientes propuestas buscan revitalizarlos, buscando que cada vez en mayor medida participen activamente de estos cambios:• Conformen grupos de estudio con sus compañeros de zona o delegación y soliciten a las instancias competentes (Centros de Actualización y Mejoramiento Profesional), apoyos académicos en forma de cursos, talleres, seminarios, etc. –que para nuestro caso serían cursos y talleres sobre el desarrollo infantil basado en el trabajo individual con ellos–, sobre contenido y método de la matemática, sobre pedagogía operatoria y sobre investigación participativa como instrumento pedagógico.• Compartan información tomada de libros, revistas, diarios, etc., graben videos o entrevistas radiofónicas que se conviertan en material de análisis y discusión.• Organicen talleres con padres de familia para que participen efectivamente en el desarrollo de sus hijos.• En fin, recuerden que los grandes cambios se inician con el cambio individual.( Tomado de Collete, Historia de las matemáticas 1986)
2. Implicaciones pedagógicas del aprendizaje significativo.AHUAMADA
GUERRA Waldo (1983) hace las siguientes aportaciones:El enfoque de significativas, que en los últimos años, se ha bombardeado tanto referente a las matemáticas, en realidad no es nueva, la verdad es que ha estado presente desde siempre, la situación más bien, es que debido a que en los últimos años se han hecho más evidentes, las innumerables deficiencias que se presentan en el logro de dicho objetivo.Y resulta muy obvio entender el hecho de que, al mostrar serias deficiencias en el aprendizaje de las matemáticas, se vuelvan todas las miradas, hacia los profesores, y la manera en que llevan a efecto la enseñanza de esta, ya determinada por las generaciones, difícil materia; pero no es la intención del trabajo establecer un juicio valorativo sobre el trabajo de los docentes, lo que aquí compete, es simplemente dar a conocer información y con suerte, determinar o sugerir algunas nuevas estrategias de trabajo, que pudieran complementar la difícil tarea de enseñar matemáticas.En síntesis, la teoría del aprendizaje significativo supone poner de relieve el proceso de construcción de significados como elemento central de la enseñanza.Entre las condiciones que deben darse para que se produzca el aprendizaje significativo, debe destacarse:1. Significatividad lógica: se refiere a la estructura interna del contenido.2. Significatividad psicológica: se refiere a que puedan establecerse relaciones no arbitrarias entre los conocimientos previos y los nuevos. Es relativo al individuo que aprende y depende de sus representaciones anteriores.3. Motivación: Debe existir además una disposición subjetiva para el aprendizaje en el estudiante. Existen tres tipos de necesidades: poder, afiliación y logro. La intensidad de cada una de ellas, varía de acuerdo a las personas y genera diversos estados motivacionales que deben ser tenidos en cuenta.Como afirmó Piaget, el aprendizaje está condicionado por el nivel de desarrollo cognitivo del alumno, pero a su vez, como observó Vigotsky, el aprendizaje es a su vez, un motor del desarrollo cognitivo. Por otra parte, muchas categorizaciones se basan sobre contenidos escolares, consecuentemente, resulta difícil separar desarrollo cognitivo de aprendizaje escolar. Pero el punto central es que el aprendizaje es un proceso constructivo interno y en este sentido debería plantearse como un conjunto de acciones dirigidas a favorecer tal proceso. Y es en esta línea, que se han investigado las implicancias pedagógicas de los saberes previos.Finalmente, la técnica de mapas conceptuales, es útil para dar cuenta de las relaciones que los alumnos realizan entre conceptos, y pueden ser utilizados también como organizadores previos que busquen estimular la actividad de los alumnos.Sin lugar a dudas, la principal implicación pedagógica en cualquier cambio educativo, es la disponibilidad del docente, ya que es sin lugar a dudas el personaje más importante en cualquier cambio o acción que se realice en torno a la educación, y la verdad es que es muy triste reconocer que en muchas ocasiones somos los que menos disposición o interés tenemos para mejorar las cosas, estamos concientes del problema pero no estamos dispuestos s realizar acciones concretas para mejorarlos o solucionarlos.Durante la investigación, algunas de las maestras mostraron cierta resistencia a las encuestas, y fue hasta que vieron que eran anónimas como accedieron a contestarlas, pues no querían sentirse evidenciadas o valoradas respecto a su desempeño docente, y esta resistencia se presenta ante cualquier acción que represente trabajo o esfuerzo extra para el tan importante gremio magisterial.
3- TIPOS DE APRENDIZAJESEs bien cierto que cada uno de nosotros desarrolla o adquiere sus conocimientos de formas diferentes, cada uno va adecuando conceptos e ideas mentales de forma especia y única, el meollo de la investigación presente, es determinar cuáles serían las acciones o estrategias adecuadas para lograr formar en los niños conocimientos o mejor dicho aprendizajes que les resultaras significativos, pero resulta de suma importancia dejar en claro qué este tipo de aprendizaje y cuáles son los otros aprendizajes que se pueden desarrollar en nuestros alumnos, y al hablar de aprendizajes significativos, sería imposible no referirse a Ausbel (Ya se ha hecho una mención anterior, en la que se explica su teoría del aprendizaje significativo), y es que también aborda otros tipos de aprendizajes.Partamos de la siguiente idea, básicamente podríamos hablar de la existencia de dos tipos de aprendizajes, el significativo y el mecánico; y aunque la propuesta sería que nuestros alumnos lograsen aprendizajes significativos, creo que también es válido apoyar o reconocer los aprendizajes mecánicos, pues si lo analizamos con un poco de detenimiento, veremos entonces que es mucho mejor aprender, aunque sea de forma mecánica, que no aprender.Ahora bien, durante las últimas décadas el aprendizaje mecánico es el que ha cobrado mayor cantidad de usuarios, ya que, sin la intención de menospreciarlo, es el más sencillo, en términos de pedagogía o didáctica, pero la realidad es que, en los últimos años, todos los países y en especial el nuestro, que está por demás recalcar las grandes carencias educativas que tiene, han dirigido su interés miradas hacia el aprendizaje significativo, ya queUn aprendizaje es significativo cuando los contenidos: Son relacionados de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno ya sabe. Por relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se relacionan con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición (AUSUBEL; 1983 ).Esto, que en concepto pareciera ser muy complejo, no es otra cosa, más que tratar de dar al alumno situaciones o símbolos que le refieran a los aprendizajes, se trata de que cada adquisición de conocimientos, este ligada a un hecho u objeto importante y útil en su vida, es decir, que encuentren una utilidad a las cosas que aprendan, para que de esa manera les sea grato y sencillo el aprendizaje.Este tipo de aprendizaje, que muchos maestros han hecho a un lado por considerarle muy complejo, es quizá más sencillo aún que el mismo mecánico, por ejemplo; el niño que por alguna razón no asistió a la escuela, y que tuvo que dedicarse a vender algún artículo en las calles, tuvo la necesidad de aprender a hacer cuentas, y no sólo a hacerlas, sino que hacerlas bien y rápido, pues de lo contrario podría perder dinero o mercancía, para ese niño, el aprendizaje de las operaciones básicas no fue mecánico, ni se dedicó horas a resolver cantidades interminables de ejercicios, su aprendizaje fue significativo, porque surgió de sus necesidades y además tienen utilidad en su vida cotidiana.Este ejemplo puede mostrarnos de forma sencilla hacia donde va encaminada la teoría de Ausbel, evidentemente no se trata de sacar la escuela a la calle, pero si de que lo que en ella se vea, sea útil en la cotidianeidad de los alumnos, tampoco pretendo decir que todas las mecanizaciones son incorrectas u obsoletas, porque como ya se mencionó en último de los casos es mejor ese aprendizaje a nada, se trata entonces de empezar a sacar un poco del aula la enseñanza de las matemáticas, darles a los alumnos la oportunidad de llevarla a la calle, a su vida cotidiana, y para ello, podemos empezar por hacer que nuestros chicos lleven sus aprendizajes a situaciones reales, como ir a la tienda, hacer compras, dar cambios, medir cuadras, en fin, romper esa barrera que hasta hoy se ha establecido entre las matemáticas de la escuela y las de la vida cotidiana.El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información "se conecta" con un concepto relevante("subsunsor") pre existente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras. (AUSUBEL; 1983 ).Ahora bien, veamos lo que el mismo autor menciona respecto al aprendizaje mecánico:El aprendizaje mecánico, contrariamente al aprendizaje significativo, se produce cuando no existen subsunsores adecuados, de tal forma que la nueva información es almacenada arbitrariamente, sin interactuar con conocimientos pre- existentes, un ejemplo de ello sería el simple aprendizaje de fórmulas en física, esta nueva información es incorporada a la estructura cognitiva de manera literal y arbitraria puesto que consta de puras asociaciones arbitrarias, [cuando], "el alumno carece de conocimientos previos relevantes y necesarios para hacer que la tarea de aprendizaje sea potencialmente significativo" (independientemente de la cantidad de significado potencial que la tarea tenga)…Lo anterior no trata de referir, que los aprendizajes mecánicos sean huecos o vanos, más bien son carentes de un complemento, asociación significativa, que simplemente se refiere a lo que le da valor o utilidad a lo aprendido, entonces, podríamos entender que ambos aprendizajes no están separados o peleados, sino más bien podrían ser complementados.Finalmente Ausubel no establece una distinción entre aprendizaje significativo y mecánico como una dicotomía, sino como un "continuum", es más, ambos tipos de aprendizaje pueden ocurrir concomitantemente en la misma tarea de aprendizaje (Ausubel; 1983);Ahora bien, el aprendizaje significativo puede darse en torno a dos vertientes.
En el aprendizaje por recepción, el contenido o motivo de aprendizaje se presenta al alumno en su forma final, sólo se le exige que internalice o incorpore el material (leyes, un poema, un teorema de geometría, etc.) que se le presenta de tal modo que pueda recuperarlo o reproducirlo en un momento posterior .En el aprendizaje por descubrimiento, lo que va a ser aprendido no se da en su forma final, sino que debe ser re-construido por el alumno antes de ser aprendido e incorporado significativamente en la estructura cognitiva. (AUSUBEL;1983,)
El aprendizaje por descubrimiento involucra que el alumno debe reordenar la información, integrarla con la estructura cognitiva y reorganizar o transformar la combinación integrada de manera que se produzca el aprendizaje deseado. Si la condición para que un aprendizaje sea potencialmente significativo es que la nueva información interactué con la estructura cognitiva previa y que exista una disposición para ello del que aprende, esto implica que el aprendizaje por descubrimiento no necesariamente es significativo y que el aprendizaje por recepción sea obligatoriamente mecánico. Tanto uno como el otro pueden ser significativo o mecánico, dependiendo de la manera como la nueva información es almacenada en la estructura cognitiva; por ejemplo el armado de un rompecabezas por ensayo y error es un tipo de aprendizaje por descubrimiento en el cual, el contenido descubierto ( el armado) es incorporado de manera arbitraria a la estructura cognitiva y por lo tanto aprendido mecánicamente, por otro lado una ley física puede ser aprendida significativamente sin necesidad de ser descubierta por el alumno, está puede ser oída, comprendida y usada significativamente, siempre que exista en su estructura cognitiva los conocimientos previos apropiados.Finalmente es necesario considerar lo siguiente: "El aprendizaje por recepción, si bien es fenomenológicamente más sencillo que el aprendizaje por descubrimiento, surge paradójicamente ya muy avanzado el
desarrollo y especialmente en sus formas verbales más puras logradas, implica un nivel mayor de madurez cognoscitiva (AUSUBEL;1983).
Requisitos Para El Aprendizaje Significativo1. Predisposición: la persona debe tener algún motivo por el cual esforzarse.
Ausubel señala dos situaciones frecuentes en la instrucción que anulan la predisposición para el aprendizaje significativo. En primer lugar, menciona que los alumnos aprenden las "respuestas correctas" descartando otras que no tienen correspondencia literal con las esperadas por sus profesores y en segundo lugar, el elevado grado de ansiedad o la carencia de confianza en sus capacidades.2. Ideas Inclusoras: es necesario que el sujeto posee un background que le permita incorporar el nuevo material a la estructura cognitiva.Al respecto AUSUBEL dice: El alumno debe manifestar […] una disposición para relacionar sustancial y no arbitrariamente el nuevo material con su estructura cognoscitiva, como que el material que aprende es potencialmente significativo para él, es decir, relacionable con su estructura de conocimiento sobre una base no arbitraria (AUSUBEL;1983: 48).
Esto es, que los materiales que se le proporcionen a los alumnos, tengan en sí mismos ya un significado para ellos, y no haya sido determinado de manera arbitraria por el maestro, pues esto le restaría la intención o finalidad original, se trata de dar al alumno materiales que le sean relevantes y para lograrlo habremos de partir de sus intereses y necesidades, para que ese interés pueda ser transformado en significado.Cuando el significado potencial se convierte en contenido cognoscitivo nuevo, diferenciado e idiosincrático dentro de un individuo en particular como resultado del aprendizaje significativo, se puede decir que ha adquirido un "significado psicológico" de esta forma el emerger del significado psicológico no solo depende de la representación que el alumno haga del material lógicamente significativo, " sino también que tal alumno posea realmente los antecedentes ideativos necesarios" (AUSUBEL:1983:55) en su estructura cognitiva.Ahora también se requiere de que el alumno tenga disposición para el aprendizaje significativo, es decir que quiera relacionar sus aprendizajes con los hechos significativos.Así independientemente de cuanto significado potencial posea el material a ser aprendido, si la intención del alumno es memorizar arbitraria y literalmente, tanto el proceso de aprendizaje como sus resultados serán mecánicos; de manera inversa, sin importar lo significativo de la disposición del alumno, ni el proceso, ni el resultado serán significativos, si el material no es potencialmente significativo, y si no es relacionable con su estructura cognitiva.
Tipos de aprendizajes significativos.Ausbel, distingue tres tipos de aprendizaje significativo: de representaciones, de conceptos y de proposiciones.Aprendizaje De RepresentacionesEs el aprendizaje más elemental y de éste se derivan los demás tipos de aprendizaje.Al respecto AUSUBEL dice:Ocurre cuando se igualan en significado símbolos arbitrarios con sus referentes (objetos, eventos, conceptos) y significan para el alumno cualquier significado al que sus referentes aludan (AUSUBEL;1983).Este tipo de aprendizaje es en el que el niño relaciona de manera sustantiva y no arbitraria el concepto que se le da con el objeto mismo.
Aprendizaje De ConceptosLos conceptos se definen como "objetos, eventos, situaciones o propiedades de que posee atributos de criterios comunes y que se designan mediante algún símbolo o signos" (AUSUBEL 1983:61), partiendo de ello podemos afirmar que en cierta forma también es un aprendizaje de representaciones.Refiere que el niño a través de representaciones mismas, va dando un concepto o significado preciso a cada una de las cosas que se le presentan, de tal manera, que luego advierte qué es y cuáles son sus características y finalidades.Aprendizaje de proposiciones.Este tipo de aprendizaje va más allá de la simple asimilación de lo que representan las palabras, combinadas o aisladas, puesto que exige captar el significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones
El aprendizaje de proposiciones implica la combinación y relación de varias palabras cada una de las cuales constituye un referente unitario, luego estas se combinan de tal forma que la idea resultante es más que la simple suma de los significados de las palabras componentes individuales, produciendo un nuevo significado que es asimilado a la estructura cognoscitiva. Es decir, que una proposición potencialmente significativa, expresada verbalmente, como una declaración que posee significado denotativo (las características evocadas al oír los conceptos) y connotativo (la carga emotiva, actitudinal e ideosincrática provocada por los conceptos) de los conceptos involucrados, interactúa con las ideas relevantes ya establecidas en la estructura cognoscitiva y, de esa interacción, surgen los significados de la nueva proposición.
Por asimilación entendemos el proceso mediante el cual " la nueva información es vinculada con aspectos relevantes y pre existentes en la estructura cognoscitiva, proceso en que se modifica la información recientemente adquirida y la estructura pre existente (AUSUBEL; 1983:71), al respecto Ausubel recalca: Este proceso de interacción modifica tanto el significado de la nueva información como el significado del concepto o proposición al cual está afianzada. ( AUSUBEL; 1983:120).La teoría de la asimilación considera también un proceso posterior de "olvido" y que consiste en la "reducción" gradual de los significados con respecto a los subsunsores. Olvidar representa así una pérdida progresiva de disociabilidad de las ideas recién asimiladas respecto a la
matriz ideativa a la que estén incorporadas en relación con la cual surgen sus significadosDependiendo como la nueva información interactúa con la estructura cognitiva, las formas de aprendizaje planteadas por la teoría de asimilación son las siguientes.
Aprendizaje SubordinadoEste aprendizaje se presenta cuando la nueva información es vinculada con los conocimientos pertinentes de la estructura cognoscitiva previa del alumno, es decir cuando existe una relación de subordinación entre el nuevo material y la estructura cognitiva pre existente.El aprendizaje de conceptos y de proposiciones, hasta aquí descritos reflejan una relación de subordinación, pues involucran la subsunción de conceptos y proposiciones potencialmente significativos a las ideas más generales e inclusivas ya existentes en la estructura cognoscitiva.Ausubel afirma que la estructura cognitiva tiende a una
organización jerárquica en relación al nivel de abstracción, generalidad e inclusividad de las ideas, y que, "
la organización mental" […] ejemplifica una pirámide […] en que las ideas más inclusivas se encuentran en el ápice, e incluyen ideas progresivamente menos amplias (AUSUBEL;1983:121).Aprendizaje SupraordinadoOcurre cuando una nueva proposición se relaciona con ideas subordinadas específicas ya establecidas, "tienen lugar en el curso del razonamiento inductivo o cuando el material expuesto […]implica la síntesis de ideas componentes" (AUSUBEL; 1983),Aprendizaje CombinatorioEste tipo de aprendizaje se caracteriza por que la nueva información no se relaciona de manera subordinada, ni supraordinada con la estructura cognoscitiva previa, sino se relaciona de manera general con aspectos relevantes de la estructura cognoscitiva. Es como si la nueva información fuera potencialmente significativa con toda la estructura cognositiva.IV:- LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS«La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, 1958)1.- CREENCIAS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.En todo el mundo, sin importar raza, sexo, creencias religiosa, estrato social o nivel de escolaridad, las matemáticas son empleadas en el quehacer cotidiano, de ahí la importancia que se le da a un aprendizaje verdadero y útil.En la actualidad, el tema de la resolución de problemas, como una eficaz estrategia para el aprendizaje de las matemáticas, ha cobrado mayor importancia, y día con día se han sumado personas a investigar y opinar al respecto, he aquí algunas muestras de ello.Como se mostrará en las gráficas, creo que la idea que predomina respecto a la resolución de problemas es la de reducirlas a un ejercicio más, y eso parecería en un primer momento una excelente idea por parte de los maestros, pues ya les están dando un peso importante dentro de la enseñanza de las matemáticas, pero la verdad es que, la ven como un ejercicio rutinario, metódico y encaminado a una sola resolución, por lo que pierde el valor pedagógico que se pretende tenga dentro de la enseñanza.Todos tenemos claro que los problemas son una buena estrategia, pero creo que es importante aclarar el papel de los problemas dentro de la enseñanza, para, evitar de esta manera, reducirlos a un simple ejercicio más, pues esa no es su finalidad.El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la «resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria».El N.C.T.M. de Estados Unidos, declaraba hace más de diez años que «el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas».En el libro de Hofsdadter, Gödel, Escher y Bach, se dice que «las capacidades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas, siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones».Santaló (1985), gran matemático español y además muy interesado en su didáctica, señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: «Está bien justificado que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática».M. de Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberríamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos.En España, el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención, especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes.Es evidente que el mundo entero ha colocado sus ojos en torno a la resolución de los problemas, pero ¿ a qué se refiere el término problema, aplicado a la matemática?Como aproximación al concepto de problema, se asume la afirmación de Parra (1990:22) en la que establece que "un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata".Pero entonces, ¿debemos entender como sinónimos ejercicios y problemas?, no, no es así, hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio". No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo.La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los elementos distorsionadores, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la respuesta, etc.Hablamos entonces de la utilización de procedimientos al resolver problemas, en dichos procedimientos debemos utilizar algoritmos (Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema.2. Método y notación en las distintas formas del cálculo RAE, Encarta 2003)., por lo tanto el procedimiento, se vuelve algorítmico, ya que utilizará forzosamente un algoritmo, veamos pues entonces que se refiere este término.Siguiendo a Monereo et al. (1998:20), "llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (por ejemplo, planificar una entrevista o reducir el espacio de un problema complejo a la identificación de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos de procedimientos heurísticos". (Técnica de la indagación y del descubrimiento).Pero, no es tan simple como ponerse a plantear problemas y ya, de hecho una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora que presentan nuestros alumnos, y este dato fue muy referido al encuestar a las maestras, quienes más que hablar de falta de conocimientos, hablaron de falta de interpretación del problema, y es verdad, ese es un buen punto a considerar al hablar de resolución de problemas. La tendencia de operar todos los datos presentados, venga o no a cuento, certifica esta falta de comprensión global. Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. Ello constituye un error pedagógico muy frecuente, porque cuanto más facilitemos los adultos el aprendizaje, menor será el esfuerzo del niño por aprender y por tanto menor será el aprendizaje.No todos los alumnos llegan a comprender los contenidos matemáticos fijados en los curriculums oficiales de la enseñanza obligatoria: unos no pueden y a otros no les interesan lo más mínimo..., pero a todos les será necesario un cierto dominio en la comprensión de órdenes escritas y una cierta fluidez en la utilización de conceptos básicos tan necesarios para su futura ocupación laboral como para su vida. El niño dedica muy poco tiempo a la resolución de un problema. La dificultad no conlleva significativamente más tiempo de dedicación a resolverlo. En parte ello es consecuencia de la falta de hábitos en esforzarse por conseguir las propias metas. Es una obviedad, no sólo que no disfrutan ante los retos intelectuales sino, que no estan dispuestos a "malgastar" el tiempo pensando. Sería conveniente intentar romper este círculo vicioso y hacerles disfrutar de los resultados logrados a través del esfuerzo y dedicación.2.- RASGOS QUE CARACTERIZAN LOS BUENOS PROBLEMAS.Según Grupo Cero, 1984, un buen problema se caracteriza por:No son cuestiones con trampas ni acertijos. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando.Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), el interés de los problemas es por el propio proceso. Pero a pesar de ello, los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos otros campos.Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad, aunque si se tienen que señalar cuáles son, es bien dificultoso hacerlo. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos.Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. Pasa como con los chistes que nos gustan, que los contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con los buenos problemas.Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capacidad de reacción. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas.Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.Otra cosa que debe caracterizar los buenos problemas, es innegablemente, el hecho de que éstos surjan a partir de los intereses y necesidades de los alumnos, de sus propios intereses y curiosidades, para que de entrada ya tengamos un punto a favor al momento de la solución, por lo menos a ellos les va a interesar resolverlos, también es importante considerar el hecho del tiempo, pues recordemos que debemos de dar opciones de diseño de estrategias, y para evitar esto, a veces los maestros prefieres reducir las posibilidades de los problemas significativos, y los reducen a simples ejercicios de repaso, y en otros casos de relleno.3.- ES POSIBLE ENSEÑAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.Monereo et al. (1998) derivan una especie de principios o pautas metodológicas que pueden constituirse en orientadores de estrategias didácticas que tengan como objetivo enseñar estrategias de aprendizaje a los alumnos.En primer término destaca el principio de "plantear actividades que, debido a su complejidad, requieran por parte de los estudiantes una regulación consciente y deliberada de su conducta, de manera que para realizarlas se vean obligados a planificar previamente su actuación, deban controlar y supervisar lo que están haciendo y pensando mientras lo hacen y les parezca útil evaluar su ejecución cuando la concluyan" (ibid., p. 38).Un segundo principio que se plantea es el de "evitar la enseñanza de técnicas de estudio simples en relación a objetivos concretos, dado que tenderán a aprenderse de forma mecánica..., por el contrario, es importante asegurarse de que el alumno domina diferentes procedimientos de aprendizaje que pueden serle útiles en una situación determinada, que es capaz de escoger de forma razonada los más adecuados y de coordinar su utilización, siempre en función de las condiciones de la actividad que se planea"Un principio más se concreta en la propuesta de "enseñar estrategias de aprendizaje en contextos en los que éstas resulten funcionales; es decir, en aquellas situaciones reales en que estas estrategias sean útiles para atender las necesidades académicas y personales que pueda tener un alumno de una edad determinada, que trata con unas materias y materiales determinados y tiene unos problemas vitales peculiares"Un principio más de los planteados por Monereo et al. (1998:38) hace referencia a "crear un clima en el aula en el que se tolere la reflexión, la duda, la exploración y la discusión sobre las distintas maneras como puede aprenderse y pensarse sobre un tema. Un entorno en el que sea posible plantear la enseñanza de estrategias de aprendizaje como un objetivo explícito y directo"Finalmente, Monereo et al. (1998:38) presentan el principio que sugiere "facilitar la transferencia de las estrategias de aprendizaje utilizadas a otras tareas, materias y, si es posible, a otros contextos, promoviendo referencias explícitas a diferentes situaciones y recordando los aspectos referentes a cuándo y por qué decidimos que es útil una determinada estrategia. El hecho de que una estrategia pueda ser fácilmente aplicada a una nueva situación de aprendizaje es el mejor indicador para evaluar la calidad de su enseñanza".La misma Secretaría de Educación Pública de nuestro país, en el Guión técnico pedagógico para la elaboración del libro de sexto grado,mencionó señalamientos ampliamente coincidentes con el contenido de este principio; en ellos se señala que "el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de conocimientos. Así, tal proceso es reforzado por la interacción con los compañeros y con el maestro. El éxito en el aprendizaje de esta disciplina depende en buena medida del diseño de actividades que promuevan la construcción de conceptos, a partir de experiencias concretas, en la interacción con los otros. En esas actividades, las matemáticas serán para el niño herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las situaciones problemáticas que se le planeen". Al cuestionar a las maestras sobre este aspecto, la mayoría de ellas dijo que no era posible enseñar a los niños a resolver problemas, que más bien se trataba de habilidades o capacidades que los niños ya poseían, pero que ya las tienen, no se les enseña, tan sólo se les motivas o ayuda a desarrollarlas de mejor manera, pero que había niños que nacían negados de esta habilidad y sería muy difícil hacer que la adquirieran con trabajos escolares. 4.- PASOS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.Pensemos, que, como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores:1. COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática.- Se debe leer el enunciado despacio. - ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) - ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) - Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. - Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.2. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. - ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? - ¿Se puede plantear el problema de otra forma? - Imaginar un problema parecido pero más sencillo. - Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? - ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. - Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. - ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? - Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? - Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. - Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.4. COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver.- Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. - Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? - ¿Se puede comprobar la solución? - ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? - ¿Se puede hallar alguna otra solución? - Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. - Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.Pero no es suficiente conocer las técnicas de resolución de problemas, es importante también, dotar al alumno de los conocimientos necesarios para poder utilizar sus conocimientos previos, y toda la serie de herramientas que tiene a su favor para resolver un problema determinado, es decir, debemos enseñar al niño a aprender, el famoso proceso de la meta cognición, que podría ser la diferencia entre quienes tienen habilidad para resolver bien los problemas y quienes no.Las siguientes técnicas heurísticas (técnicas de indagación o descubrimiento), fueron dadas a conocer por Schoenfeld, producto de las ideas dadas por Poyla.ANÁLISIS.1. Trazar un diagrama. 2. Examinar casos particulares. 3. Probar a simplificar el problema.EXPLORACIÓN.1. Examinar problemas esencialmente equivalentes. 2. Examinar problemas ligeramente modificados. 3. Examinar problemas ampliamente modificados.COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.1. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes? b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? c) ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala? 2. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? b) ¿Puede quedar concretada en caso particulares? c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?Finalmente, hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. Según S. Fernández (1992) serían:- Ensayo-error. - Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo. - Manipular y experimentar manualmente. - Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). - Experimentar y extraer pautas (inducir). - Resolver problemas análogos (analogía). - Seguir un método (organización). - Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación). - Hacer recuente (conteo). - Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificar, expresión, comunicación). - Cambio de estados. - Sacar partido de la simetría. - Deducir y sacar conclusiones. - Conjeturar. - Principio del palomar. - Analizar los casos límite. - Reformular el problema. - Suponer que no (reducción al absurdo). - Empezar por el final (dar el problema por resuelto).Para finalizar, enlistaremos algunas estrategias de aprendizaje que Ramón Escobar menciona en ”El razonamiento heurístico en la enseñanza”, en su análisis sobre el modelo de razonamiento heurístico, establece a forma de síntesis la siguiente información.Polya establece las etapas para la solución de problemas en un modelo lineal:a) Comprensión del problema.b) Elaborar o trazar un plan.c) Ejecutar el plan.d) Revisión.Algunos críticos indican ciertos defectos en los modelos lineales, tales como:1) Describen la solución de problemas como un proceso lineal.2) Presentan la resolución de problemas como una serie de etapas.3) Implican que la resolución de problemas matemáticos es un procedimiento para ser memorizado, practicado y habituado.4) Son una gula que enfatiza la obtención de la respuesta.La finalidad del modelo es la creación, innovación, expansión (ampliar y profundizar el conocimiento) y la imaginería (capacidad de la imaginación de dar nuevas soluciones a problemas).No todas las subcategorías deben cubrirse, pero sí cada categoría debe comprender las previas.Estrategias de aprendizajeLas estrategias de alto nivel o "independientes de contenido" son las utilizadas para propósitos generales y pueden transferirse a un amplio rango de tareas de aprendizaje. Por otro lado, las estrategias de aprendizaje específicas o "dependientes de contenido" se emplean para facilitar el aprendizaje de contenidos y textos particulares.Weinsten y Underwood (198l), profesores de la Universidad de Austin, Texas, proponen la clasificación y significado que a continuación se describe para las estrategias independientes de contenido:• Estrategias de repetición. Se refieren a los hábitos básicos de estudio y ejercicios de repetición.• Estrategias físicas. Consisten en buscar similitudes y diferencias físicas en vocablos, conceptos y enunciados.• Estrategias de imaginería. Suponen la creación de algún tipo de imagen mental.• Estrategias de elaboración. Procuran definir las relaciones entre los conocimientos previos y la nueva información.• Estrategias de agrupamiento. Agrupan el material de acuerdo con un esquema de clasificación.Se entiende que “las estrategias de aprendizaje son una serie de operaciones cognoscitivas y afectivas que el alumno lleva a cabo para aprender y que le permiten planificar y organizar sus actividades de aprendizaje" (Castañeda y Figueroa, 1993).Es necesario incluir o completar el proceso de enseñanza‑aprendizaje con una sugerencia del método elegido por el profesor para un resultado eficiente del modelo propuesto. (Escobar)Creo que el trabajo realizado por Poyla es muy concreto, práctico y funcional, sin embargo, no es muy divulgado por los órganos educativos de nuestro país, en forma personal he asistido a por lo menos tres cursos sobre la enseñanza de las matemáticas significativas o resolución de problemas, y en ninguno he escuchado mencionar los pasos de resolución enunciados por el mencionado autor, lo que deja entre ver que nuestros deseos de cambiar no están muy actualizados, o que no son tan amplios como parecen, y se limitan a las versiones de antaño, pues lo hecho por este autor, es de los más reciente en torno al tema.Y también me parece una aportación muy relevante la que hace este autor al enumerar los mandamientos de los profesores, mismos que pocos practicamos y no en forma total, pero que si los aplicáramos los resultados serían diferentes.Los procedimientos utilizados por la mayoría de los maestros encuestados, no son copia fiel de lo señalado por el autor, por lo que esta informaci´n será de gran ayuda, recordando siempre que la teoría sólo es la luz Que utilizamos para ilumninar el camino que nosotros consideremos conveniente, nunca es el camino, por lo que cada uno de nosotros daremos el sentido que queramos o podamos a la información presentada.Queda aquí toda la información pertinente para llevar la enseñanza de nuestras matemáticas a un nivel superior, hagamos un trabajo conjunto que permita, finalmente, transpolar nuestras matemáticas abstractas, aburridas e insignificantes, a matemáticas útiles y verdaderas.
