MARCO TEORICO

MARCO TEÓRICO

Esta investigación, toma como base, dos teorías, la del aprendizaje significativo de Ausbel, ya que ese es el punto al que quiere llegar la educación, y mucho tiene que ver con nuestro tema, pues es l que pretende la enseñanza de las matemáticas en la actualidad, y la teoría de La resolución de Problemas del húngaro George Poyla, debido a que esta está resultando ser la estrategia más utilizada en los últimos tiempos, por los docentes de todos los niveles de enseñanza, además de que se le ha atribuido un valor especial a esta actividad, tras considerarle como el plus que los niños necesitan para aprender matemáticas.

Creo que como otro aporte a la investigación, es relevante, hacer mentón de otros dos enfoques, el socialista y el epistemológico, para entender desde otra perspectiva como es que se da el proceso de aprendizaje de los niños.


Teoría Del Aprendizaje Significativo
Ausubel plantea que el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del conocimiento, así como su organización.
En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como de su grado de estabilidad. Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la organización de la estructura cognitiva del educando, lo cual permitirá una mejor orientación de la labor educativa, ésta ya no se verá como una labor que deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que, los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio.
Ausubel resume este hecho en el epígrafe de su obra de la siguiente manera: "Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría este: El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente".(Ausbel 1983)

Esto quiere decir que en el proceso educativo, es importante considerar lo que el individuo ya sabe de tal manera que establezca una relación con aquello que debe aprender. Este proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva conceptos, estos son: ideas, proposiciones, estables y definidos, con los cuales la nueva información puede interactuar.
El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información "se conecta" con un concepto relevante("subsunsor") pre existente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras.

George Pólya: Estrategias para la Solución de Problemas

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942.
En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos.

Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás

Las aportaciones de Pólya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son Descubrimiento Matemático (I y II), y Matemáticas y Razonamiento Plausible (I y II). Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas.
En suma, dejó los siguientes Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas: 1.- Interésese en su materia. 2.- Conozca su materia. 3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos. 4.- Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo. 5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico. 6.- Permítales aprender a conjeturar. 7.- Permítales aprender a comprobar. 8.- Advierta que los razgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta. 9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tánto como sea posible. 10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.
El Método de Cuatro Pasos de Pólya. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre ejercicio y problema. Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.
Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: dividir. Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos,propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas.
Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas

Paso 1: Entender el Problema. 1.- ¿Entiendes todo lo que dice? 2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3.- ¿Distingues cuáles son los datos? 4.- ¿Sabes a qué quieres llegar? 5.- ¿Hay suficiente información? 6.- ¿Hay información extraña? 7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). 1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2.- Usar una variable. 3.- Buscar un Patrón 4.- Hacer una lista. 5.- Resolver un problema similar más simple. 6.- Hacer una figura. 7.- Hacer un diagrama 8.- Usar razonamiento directo. 9.- Usar razonamiento indirecto. 10.- Usar las propiedades de los Números. 11.- Resover un problema equivalente. 12.- Trabajar hacia atrás. 13.- Usar casos 14.- Resolver una ecuación 15.- Buscar una fórmula. 16.- Usar un modelo. 17.- Usar análisis dimensional. 18.- Identificar sub-metas. 19.- Usar coordenadas. 20.- Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan. 1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. 2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!). 3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás. 1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? 2.- ¿Adviertes una solución más sencilla? 3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comunmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas: Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1.- Acepta el reto de resolver el problema. 2.- Reescribe el problema en tus propias palabras. 3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. -Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias. 5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7.- Analiza el problema desde varios ángulos. 8.- Reviss tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9.- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá. 12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución. 14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después. 15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
[De http://fractus.mat.uson.mx/Papers/Polya/Polya.htm]

Así pues, estas dos teorías servirán de base para el desarrollo de la presente investigación.


SOCIOLOGIA DEL CONOCIMIENTO FORMAL:LOGICO Y MATEMATICO
Emmánuel LizcanoUniversidad Nacional de Educación a Distancia
La sociología del conocimiento científico encuentra en el pensamiento formal (lógico y matemático) el "caso más dificil posible" (D. Bloor). Su abstracción y universalidad parecen sustraer a este tipo de pensamiento de toda determinación social para situarlo más bien en ese mundo ideal separado en el que Platón alberga las formas puras.
Los habituales estudios históricos de las matemáticas y la lógica ejercitan, efectivamente, variantes más o menos sofisticadas del platonismo más ahistórico y asocial. Las historias de las matemáticas, como denuncia Lakatos, "exhiben una acumulación de verdades eternas" donde el pasado no consiste sino en un repertorio de "lamentables errores" donde, en el mejor de los casos, se puede en ocasiones "entresacar de la basura fragmentos luminosos de la verdad eterna". En las antípodas de la construcción social, la historia de las matemáticas se presenta como la de un des-cubrimiento progresivo de unas verdades que siempre han estado ahí, esperando ver caer el velo que las cubría. Desde que la mirada kuhniana ha revelado revoluciones y cambios de paradigma en las mas diversas ciencias, tan sólo la matemática parece permanecer fiel al ideal ilustrado de una historia en permanente progreso lineal y acumulativo.
La alternativa marxista a este tipo de historiografía es una buena muestra de la ambición -pero también de la impotencia- de esta escuela en sociología del conocimiento. Las historias sociales de las matemáticas que elaboran autores como Restivo o Ribnikov aducen dos tipos de `causas' para dar cuenta de la evolución de las matemáticas. Unas causas -políticas- pretenden explicar, por ejemplo, la aparición del cero y los grandes números en la matemática hindú como "productos de la clase sacerdotal dominante para aterrorizar a la población". Pero explicaciones así levanten muchos más problemas de los que resuelven: ¿por qué, de entre todas las clases sacerdotales dominantes, sólo la de la India construye precisamente esos objetos matemáticos como medio de terrorismo religioso? ¿por qué la población hindú se siente aterrorizada ante los mismos objetos que, por el contrario, reconfortan a otros pueblos como el chino? ¿o es que, aunque hoy les demos un mismo nombre, no se trata en realidad de los mismos objetos?
El otro tipo de causas -ahora económicas- indagado por la historiografía marxista explica, si cabe, aún menos, de tanto querer explicarlo todo. El recurso plano a unas necesidades prácticas siempre aducidas ad hoc suele exigir ampliar el concepto de `necesidad' y el de `práctica' hasta hacer de ellos, no ya conceptos, sino auténticos comodines verbales sin significado, pues han de alojar como necesidades prácticas desde los rituales religiosos (las primeras emergencias del número pi tienen lugar en la construcción de altares que han de atenerse a rigurosas proporciones simbólicas) hasta las disputas teológicas (como las que precedieron a la conceptualización matemática de los números infinitesimales), cuando no ocurre que tales necesidades prácticas resultan tener efectos retroactivos (como es el caso de construcciones matemáticas que, como la teoría de grupos o el álgebra tensorial, no encontrarán aplicación práctica hasta mucho tiempo después de su elaboración formal).
La especial resistencia que encuentra el pensamiento matemático al análisis sociológico puede entenderse desde el papel que la propia sociología le asigna en su intento de constituirse como ciencia. Ya el inaugural Discurso sobre el espíritu positivo comteano atribuye a la matemática una doble función. Por una lado, la de constituir "la única cuna necesaria de positividad racional", la de ocupar el lugar primero y ejemplar en la inmutable jerarquía de las ciencias, que irá así descendiendo de la matemática a la astronomía, la física, la química, y la biología hasta llegar a la sociología. Por otro lado, y en consecuencia, al constituir la matemática la fuente de unidad de las ciencias, proporciona para Comte esa sensación de cohesión social y de progreso en que se funda la nueva religión de la Humanidad. Esa doble dimensión -de fundamento y ejemplo de racionalidad y de nueva creencia compartida- excluirá en el futuro a las matemáticas, como observa Mary Douglas, de los modos de conocimiento susceptibles de investigación sociológica, o condenará a los escasos intentos de hacerlo a moverse entre las acusaciones de irracionalismo o de impiedad.
Así, la sociología del conocimiento de Mannheim, pese a la extensión de su concepto de ideología y al relativismo con que se vió calificada, mantiene para la lógica y las matemáticas un carácter absoluto, socialmente incondicionado. "En el conocimiento exacto y matemático -afirma en Ideología y utopía-, a diferencia del político y social [sí emparentados con lo irracional], la génesis [social] no tiene nada que ver con los resultados". Expresando el espíritu de su época (una época que, sin embargo, había ya asistido a la primera gran crisis de la modernidad: la de los fundamentos de las matemáticas, como consecuencia de las paradojas de la teoría de conjuntos), también para Mannheim sujeto y contexto social son del todo irrelevantes en la construcción del pensamiento formal.
Será David Bloor (1973) quien marque el punto de inflexión en la consideración sociológica de las matemáticas y de la lógica. Inspirándose en tradiciones tan dispares como las que representan Wittgenstein, Spengler, Durkheim o Stuart Mill, Bloor (1976) desarrolla la tesis de que la objetividad matemática no es intrínseca (como mantiene el Frege de los Fundamentos de la aritmética frente al Sistema de la lógica de Mill) sino social. Una objetividad derivada de su carácter de creencia institucionalizada. El campo de la lógica, en particular, sufre -según Bloor- dos tipos de determinaciones sociales: el de la experiencia acumulada por una colectividad dada y el de la negociación de los que han de tenerse como principios lógicos. Un silogismo en Bárbara -como "Todo hombre es mortal, etc."- sólo puede sentar la premisa mayor en tanto que es el resultado, por inducción, de la experiencia pasada: es la tradición, el hábito, quien funda las premisas de un silogismo. Y deducir la conclusión de las premisas no es sino hacer actuar el pasado sobre el presente, actualizar el registro de la memoria colectiva que se aloja en la premisa mayor. No hay, pues, deducción propiamente hablando, sino interpretación: interpretación de lo actual y concreto a partir de lo anterior y colectivo. El mismo análisis puede hacerse también de los axiomas matemáticos y de principios lógicos como el de causalidad.
Los principios lógicos, por otra parte, tampoco están dados de una vez por todas sino que son productos de continuas negociaciones de sentido entre las distintas interpretaciones que pueden abrirse ante cada dificultad que cause su aplicación. Por ejemplo, el principio que afirma que "el todo es mayor que la parte" es aducido por Stark como el máximo argumento anti-relativista: "es imposible imaginar una sociedad que no reconozca este aserto". Y sin embargo, en aritmética transfinita es `falso'. Si llamamos N al conjunto de los números naturales y P al de los números pares, pueden observarse dos resultados contradictorios. Por una parte, N tiene el doble de elementos que P (por cada dos números naturales hay sólo uno par), y aquí el principio se cumple. Pero, por otra parte, N tiene el mismo número de elementos que P (podemos ir emparejando uno a uno los elementos de cada uno de ambos conjuntos), y ahora el principio falla. La decisión de Cauchy fue impugnar los conjuntos transfinitos por implicar contradicciones lógicas. La que se acabó adoptando fue la de renegociar el sentido del principio y la definición de conjunto, hasta el extremo de integrar la contradicción en la propia definición y así anular sus efectos desazonadores: conjunto infinito será, desde entonces, aquél que sea equipotente con -o sea, que tenga tantos elementos como- alguna de sus partes. Para Bloor, esta negociación de sentidos es posible porque a un modelo empírico de interpretación ("los objetos son ordenables por tamaños" se puede imponer otro ("emparejar objeto a objeto") con no menor base empírica. Los principios informales, `naturales', latentes proporcionan así el material empírico del que se seleccionan (según intereses, preocupaciones, objetivos) los principios formales, a los que la comunidad científica (o matemática), tras haber negociado cierta convención, dota de autoridad.
Pero es precisamente en este convencionalismo empirista, en este realismo naturalista donde, a mi juicio, se sitúan los límites y los puntos ciegos del programa fuerte. "Es el comportamiento de los objetos físicos -afirma Bloor, siguiendo a Mill- el que sirve de modelo a nuestro comportamiento, pero -y ahora sociologiza el psicologismo de aquél- de todos los comportamientos posibles sólo actúan como modelos los que han sido ritualizados como tales por la sociedad". Ante lo cual pueden presentarse, al menos, dos objeciones. Primera, ¿tienen los objetos físicos y sus comportamientos esa rotundidad natural? ¿no está a menudo el objeto físico definido precisamente por una cierta convención matemática, como es el caso, p.e., del electrón definido por su función de onda? Segunda, ¿qué comportamiento de qué objetos físicos, qué experiencia sensible hay debajo de objetos matemáticos como el cero o los números imaginarios, o debajo de construcciones tan fantásticas como las geometrías no-euclídeas?
Bloor elude este tipo de casos, que sin embargo son precisamente los más interesantes, pues en su `imposibilidad' natural viene a precipitar todo el caudal de metáforas y creencias sociales en que se instituye cada imaginario colectivo. Bloor sólo afronta, y a regañadientes, el caso del cero: ahí no le queda más remedio que dar la razón a Frege frente a Mill, asume la crítica de aquél pero no su conclusión: ciertamente, el cero no es correlato de ninguna experiencia sensible pero tampoco es una entidad eidética. Es el producto de una convención. Y punto. A continuación Bloor pasa a otro tema. Pero no se para a investigar cuándo ni cómo se estableció tal convención. Si lo hubiera hecho, habría tenido serias dificultades. Algunas sociedades, como la griega, al cero no podían ni verlo. Los árabes admitieron ciertos ceros (como los que indican ausencia de cifra en 1025) pero no otros (como el de ax²+bx+c = 0), con lo cual surge además el problema de si no habrá varios ceros. Y en China no hubo la menor posibilidad de convención entre expertos porque resulta que la existencia del cero es allí una evidencia ancestral. Toda la radicalidad del programa fuerte choca con el mismo cerco cultural que limita al empirismo en general. Al reducir toda explicación al doble juego de la supuesta base empírica subyacente y de las convenciones entre expertos, queda ciego tanto a la dimensión histórica de los contextos sociales y de los procesos de conocimiento, como a una dimensión del imaginario social que rebase la mera acumulación inductiva de experiencias personales anteriores.
Las aproximaciones antropológicas y hermenéuticas, habitualmente más advertidas contra el etnocentrismo que supone el dar por sentados los modernos valores del occidente desarrollado como pauta universal de juicio, ofrecen numerosas sugerencias para una sociología del pensamiento formal. Ya Nietzsche -en Sobre verdad y mentira en sentido extramoral- incitaba a pensar el lenguaje de la ciencia, el lenguaje matemático, como mitología congelada, como residuos acartonados y desecados de metáforas que, en su origen, estuvieron vivas. También el Wittgenstein de las Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas desarrolla toda una `antropología imaginaria' en la que imagina tribus para las que los resultados de las operaciones dependen del contexto en que las efectúan o donde la aparición de una contradicción es más un estímulo para el pensamiento que un callejón sin salida. No en vano parece que la reflexión sobre un lenguaje cuyos términos carecen de referente empírico, como es el lenguaje matemático, movió decisivamente al Wittgenstein del Tractatus a abandonar aquella concepción del lenguaje como representación para pensar en términos de juegos de lenguaje que son formas de vida.
Pero es en Las formas elementales de la vida religiosa donde encontramos el primer estudio empírico de las raíces antropológicas del pensamiento formal. Las principales categorías lógicas y matemáticas (tiempo, espacio, cantidad, causa) se analizan ahí como formas decantadas del pensamiento religioso. La extensión que Granet hace de este enfoque a la concepción del número, el espacio y el tiempo en China acaso sea el mejor ejemplo de lo que puede dar de sí una antropología del pensamiento formal, pese a que el desconocimiento de Granet de los arcanos del lenguaje matemático (más impenetrable para él que el chino) le impidan explotar muchas de las potentes intuiciones que pueblan La pensée chinoise.
Lamentablemente, los estudios empíricos posteriores, bien ignoran estas aproximaciones, bien ceden al que parece ser fascinante atractivo de la operación inversa: en lugar de buscar en contextos simbólicos concretos y territorializados las raíces de cada modo de formalizar, prefieren casi sin excepción desarraigar éstos y medirlos con la vara común de la actual matemática occidental. La metodología propuesta por la antropología cognitiva de Dan Sperber ofrece potentes instrumentos analíticos para recorrer aquel camino abandonado: investigar lo que los símbolos matemáticas tienen de símbolos (en el sentido pleno) y no de meros significantes, sorprender a los objetos y operaciones matemáticas, como quería Nietzsche, en el momento de su estarse haciendo, allí donde el matemático -como el científico de Lévi-Strauss- actúa como un bricoleur, claveteando como puede los residuos que tiene a mano: residuos que son simbólicos y lingüísticos, el material que pone a su disposición la comunidad y la tradición.
Lo simbólico no consiste, para Sperber, tanto en un repertorio de objetos (símbolos) a interpretar o utilizar, cuanto en un dispositivo de conocimiento que actúa cuando el dispositivo conceptualizador resulta insatisfactorio. Este dispositivo simbólico no actúa sobre unos símbolo predefinidos, a los que interpretaría o deconstruiría, sino sobre problemas o situaciones para los que no hay conceptos elaborados: es un dispositivo de construcción de significado. Así, por ejemplo, a la hora de intentar pensar un olor, para el que carecemos de un repertorio semántico adecuado, se produce un doble movimiento, a la vez afectivo e intelectual: 1º) un movimiento de focalización en una imagen, sensación o concepto que funciona como co-relato analógico del olor que se quiere pensar; 2º) una cascada de evocaciones convocadas por el poder atractor de aquel foco, sobre el cual vienen a precipitar, contribuyendo a darle forma. Este doble movimiento se correspondería con las operaciones de desplazamiento y condensación que considera Freud, y con los dispositivos metafórico y metonímico que para Jakobson estructuran cualquier lenguaje. Desde esta perspectiva, es el proceso simbolizador -y no la matemática, según el proyecto leibniziano- el que está en el origen de todo lenguaje. Y, en particular, en el origen del lenguaje matemático y lógico.
Efectivamente, en cada problema matemático aún sin resolver, en el origen de cada concepto formal cuando aún no lo era, fracasa la conceptualización anterior igual que fracasa nuestro repertorio enciclopédico ante los olores. Y cada una de esas construcciones puede pensarse en términos de un proceso de simbolización. De hecho, las situaciones en que el antropólogo suele observar la actuación de dispositivos simbólicos en sociedades primitivas apenas difieren de las análogas en las tribus de matemáticos y epistemólogos. Aplicando estos criterios, hemos podido analizar (E. Lizcano, 1993) las diferencias radicales con que tres sociedades distintas -la griega clásica, la del alejandrinismo tardío y la china antigua- construyen sus modos respectivos de pensamiento formal, lógico y matemático. En particular, al considerar la emergencia de ciertos objetos matemáticos, como pueden ser el `cero' y los `números negativos', cada una de estas culturas focaliza un ámbito -que podemos llamar de negatividad- que pone en acción todo un magma de prácticas y saberes extra-matemáticos con los que se construirán tales objetos. En ese ámbito de la negatividad van a anudarse elementos tan dispares como la estructura de ciertas prácticas adivinatorias, la materialidad de los instrumentos de cálculo (gnomon griego o palillos chinos sobre un tablero de cálculo), emociones colectivas (como la aversión o atracción por el vacío), la estructura gramatical de las respectivas lenguas vernáculas y la carga semántica de los términos importados al discurso matemático, o pre-nociones con una fuerte impregnación simbólica y mítica (como los argumentos griegos contra el vacío o el complejo simbólico chino articulado en torno a los términos yin/yang/dao).
Así, puede observarse que en China emergen una pluralidad de negatividades formales (no todas estrictamente matemáticas) enraizadas en el complejo simbólico fundamental yin/yang/dao, que dispone a su razón a operar en términos de oposiciones que pivotan sobre un `hueco' o `centro': el dao. Esta matemática es deudora de una concepción cualitativa y simbólica del espacio de representación, que distingue lugares (lugares que así significan) y se hace solidario con cierta concepción del tiempo; de ciertos procesos de racionalización asociados a la singularidad de su lengua (evocación frente a definición, simetría e inversión frente a linealidad...); y de un modo de pensar que descansa en los criterios pre-lógicos `de oposición' y `de equivalencia'. Conceptos como los de `cero' o `magnitudes opuestas (positivas y negativas)', y sus modos de operar, emergen así en China de una modo `natural', es decir, no son sino formalizaciones de pre-conceptos ya implícitos en su imaginario social.
En la Grecia clásica no es un criterio básico de oposición sino uno de `determinación' -o puesta en límites- el que orienta el pensamiento. Y desde ahí es imposible pensar ni construir objetos como el cero o los números negativos. En el modo de pensar griego, la primacía de oposiciones del tipo `ser/no-ser' o `determinado/indeterminado' subsumirá, lo que en China son determinaciones negativas, en el caos indistinto de la indeterminación: lo vacío como no-ser y como imposibilidad (Aristóteles) dibuja en Grecia la frontera de lo impensable, mientras que para la episteme -y la matemática- china el vacío juega el papel de gozne que articula las determinaciones opuestas (yin/yang). Otros dos factores que contribuyen a conducir esta matemática por desarrollos ajenos a una forma propia de negatividad son: uno, una reflexión teórica sobre el número, en términos de `multitud determinada de unidades', que exigirá naturalmente un espacio de representación concebido como extensión delimitada (en la que una hipotética magnitud negativa no puede -literalmente- ni verse); el otro, una manera de pensar no analógica sino fundada en procesos de abstracción e imbricación de géneros y especies (diferencia específica). La exigencia de un sustrato del que sustraer o diferenciar pondrá así en la sustracción o diferencia (en la resta) el límite griego para la negatividad, como en China la exigencia de oposición lo que ponía era un punto de arranque para construirla.
Otras aproximaciones a una sociología del pensamiento formal adoptan un enfoque etnometodológico, ya se centren en fenómenos textuales, ya en las prácticas matemáticas latentes en las actividades cotidianas de comunidades concretas (habitualmente, comunidades primitivas). La primera orientación es la desarrollada por Livingston (1986) al ir siguiendo paso a paso las distintas demostraciones que integran el teorema de Gödel, procurando resaltar sus presupuestos implícitos y presentando como no tan familiar lo que suele darse por descontado. La segunda orientación es la practicada por la llamada etnomatemática. Estos estudiosos vienen conjugando una especial sensibilidad etnológica con fuertes conocimientos matemáticos, de los que habitualmente solían carecer los antropólogos.

Si hablamos de aprendizaje, hablemos de enfoques o modelos y para ello vale la pena la siguiente información.

“Enfoque Epistemológico” (aproximadamente lo mismo que Kuhn llamó “paradigmas”). Así que una tercera decisión de todo individuo que se convierte en investigador (y que suele ocurrir atomática e implícitamente con respecto a las dos decisiones anteriores) es la definición del enfoque epistemológico en el que ha de moverse más cómodamente. Detengámonos brevemente en este criterio de los enfoques epistemológicos, que también funciona como criterio de diferenciación o variación dentro del Modelo VIE.
- El enfoque Empirista-inductivo (por asociación, también llamado probabilista, positivista, neopositivista, atomista lógico, etc.): de acuerdo al primer criterio, en este enfoque se concibe como producto del conocimiento científico los patrones de regularidad a partir de los cuales se explican las interdependencias entre clases distintas de eventos fácticos. En tal sentido, la compleja diversidad o multiplicidad de fenómenos del mundo puede ser reducida a patrones de regularidad basados en frecuencia de ocurrencia. El supuesto básico aquí es que los sucesos del mundo (tanto materiales como humanos), por más disímiles e inconexos que parezcan, obedecen a ciertos patrones cuya regularidad puede ser establecida gracias a la observación de sus repeticiones, lo cual a su vez permitirá inferencias probabilísticas de sus comportamientos futuros. En ese sentido, conocer algo científicamente equivale a conocer tales patrones de regularidad.
- El Enfoque Racionalista-Deductivo (por asociación, también llamado deductivista, teórico o teoricista, racionalista crítico, etc.): de acuerdo al primer criterio, en este enfoque se concibe como producto del conocimiento científico el diseño de sistemas abstractos dotados de alto grado de universalidad que imiten los procesos de generación y de comportamiento de una cierta realidad. Según esto, el conocimiento es más un acto de invención que de descubrimiento. Los sistemas teóricos son el producto por excelencia del conocimiento científico y ellos se inventan o se diseñan, no se descubren. A su vez, los sistemas teóricos se basan en grandes conjeturas o suposiciones arriesgadas acerca del modo en que una cierta realidad se genera y se comporta. No es tan importante que un diseño teórico sea el fiel reflejo de un sector del mundo. Más importante es que imite esquemática y abstractamente el sistema de hechos reales que pretende explicar, pero tampoco bajo la referencia de cómo son las cosas objetivamene sino bajo la referencia de cómo una sociedad en un cierto momento histórico es capaz de correlacionar intersubjetivamente esa realidad con ese diseño teórico.
- El Enfoque Introspectivo-Vivencial (por asociación, también llamado sociohistoricista, fenomenológico, dialéctico-crítico, simbólico-interpretativo, psicologista, hermenéutico, etc.): de acuerdo al primer criterio, en este enfoque se concibe como producto del conocimiento las interpretaciones de los simbolismos socioculturales a través de los cuales los actores de un determinado grupo social abordan la realidad (humana y social, fundamentalmente). Más que interpretación de una realidad externa, el conocimiento es interpretación de una realidad tal como ella aparece en el interior de los espacios de conciencia subjetiva (de ahí el calificativo de Introspectivo). Lejos de ser descubrimiento o invención, en este enfoque el conocimiento es un acto de comprensión. El papel de la ciencia es concebido como mecanismo de transformación y emancipación del ser humano y no como simple mecanismo de control del medio natural y social. Se hace énfasis en la noción de sujeto y de realidad subjetiva, por encima de la noción de objeto o de realidad objetiva.
Padrón, J. (1998): La Estructura de los Procesos de Investigación, en REVISTA EDUCACIÓN Y CIENCIAS HUMANAS. Año IX, nº 17 julio-diciembre de 2001. Decanato de Postgrado, Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez